1. 什么是堆
堆是一种满足以下条件的树：
堆中的每一个节点值都大于等于（或小于等于）子树中所有节点的值。或者说，任意一个节点的值都大于等于（或小于等于）所有子节点的值。
2. 堆的用途
当我们只关心所有数据中的最大值或者最小值，存在多次获取最大值或者最小值，多次插入或删除数据时，就可以使用堆。
可能会想到用有序数组，初始化一个有序数组时间复杂度是 O(nlog(n))，查找最大值或者最小值时间复杂度都是 O(1)，但是，涉及到更新（插入或删除）数据时，时间复杂度为 O(n)，即使是使用复杂度为 O(log(n)) 的二分法找到要插入或者删除的数据，在移动数据时也需要 O(n) 的时间复杂度。
相对于有序数组而言，堆的主要优势在于更新数据效率较高。 堆的初始化时间复杂度为 O(nlog(n))，堆可以做到O(1)时间复杂度取出最大值或者最小值，O(log(n))时间复杂度插入或者删除数据，具体操作在后续章节详细介绍。
3. 堆的分类
堆分为 最大堆 和 最小堆。二者的区别在于节点的排序方式。
- 最大堆 ：堆中的每一个节点的值都大于等于子树中所有节点的值
- 最小堆 ：堆中的每一个节点的值都小于等于子树中所有节点的值
如下图所示，图1是最大堆，图2是最小堆
4. 堆的存储
由于完全二叉树的优秀性质，利用数组存储二叉树即节省空间，又方便索引（若根结点的序号为1，那么对于树中任意节点i，其左子节点序号为 2*i，右子节点序号为 2*i+1）。
为了方便存储和索引，（二叉）堆可以用完全二叉树的形式进行存储。存储的方式如下图所示：
5. 堆的操作
堆的更新操作主要包括两种 : 插入元素 和 删除堆顶元素。
插入元素
1.将要插入的元素放到最后
2.从底向上，如果父结点比该元素小，则该节点和父结点交换，直到无法交换
删除堆顶元素
根据堆的性质可知，最大堆的堆顶元素为所有元素中最大的，最小堆的堆顶元素是所有元素中最小的。当我们需要多次查找最大元素或者最小元素的时候，可以利用堆来实现。
删除堆顶元素后，为了保持堆的性质，需要对堆的结构进行调整，我们将这个过程称之为”堆化“，堆化的方法分为两种：
- 一种是自底向上的堆化，上述的插入元素所使用的就是自底向上的堆化，元素从最底部向上移动。
- 另一种是自顶向下堆化，元素由最顶部向下移动。
自底向上堆化
首先删除堆顶元素，使得数组中下标为1的位置空出。
比较根结点的左子节点和右子节点，也就是下标为2,3的数组元素，将较大的元素填充到根结点(下标为1)的位置
一直循环比较空出位置的左右子节点，并将较大者移至空位，直到堆的最底部
这个时候已经完成了自底向上的堆化，没有元素可以填补空缺了，但是，我们可以看到数组中出现了“气泡”，这会导致存储空间的浪费。接下来我们试试自顶向下堆化。
自顶向下堆化
自顶向下的堆化用一个词形容就是“石沉大海”，那么第一件事情，就是把石头抬起来，从海面扔下去。这个石头就是堆的最后一个元素，我们将最后一个元素移动到堆顶。
然后开始将这个石头沉入海底，不停与左右子节点的值进行比较，和较大的子节点交换位置，直到无法交换位置。
堆的操作总结
- 插入元素 ：先将元素放至数组末尾，再自底向上堆化，将末尾元素上浮
- 删除堆顶元素 ：删除堆顶元素，将末尾元素放至堆顶，再自顶向下堆化，将堆顶元素下沉。也可以自底向上堆化，只是会产生“气泡”，浪费存储空间。最好采用自顶向下堆化的方式。
6. 堆排序
堆排序的过程分为两步：
- 第一步是建堆，将一个无序的数组建立为一个堆
- 第二步是排序，将堆顶元素取出，然后对剩下的元素进行堆化，反复迭代，直到所有元素被取出为止。
建堆
如果你已经足够了解堆化的过程，那么建堆的过程掌握起来就比较容易了。建堆的过程就是一个对所有非叶节点的自顶向下堆化过程。
首先要了解哪些是非叶节点，最后一个节点的父结点及它之前的元素，都是非叶节点。也就是说，如果节点个数为n，那么我们需要对n/2到1的节点进行自顶向下（沉底）堆化。
具体过程如下图：
将初始的无序数组抽象为一棵树，图中的节点个数为6，所以4,5,6节点为叶节点，1,2,3节点为非叶节点，所以要对1-3号节点进行自顶向下（沉底）堆化，注意，顺序是从后往前堆化，从3号节点开始，一直到1号节点。 3号节点堆化结果：
2号节点堆化结果：
1号节点堆化结果：
至此，数组所对应的树已经成为了一个最大堆
排序
由于堆顶元素是所有元素中最大的，所以我们重复取出堆顶元素，将这个最大的堆顶元素放至数组末尾，并对剩下的元素进行堆化即可。
我们需要执行自顶向下（沉底）堆化，这个堆化一开始要将末尾元素移动至堆顶，这个时候末尾的位置就空出来了，由于堆中元素已经减小，这个位置不会再被使用，所以我们可以将取出的元素放在末尾。
这其实是做了一次交换操作，将堆顶和末尾元素调换位置，从而将取出堆顶元素和堆化的第一步(将末尾元素放至根结点位置)进行合并。
取出第一个元素并堆化：
取出第二个元素并堆化：
取出第三个元素并堆化：
取出第四个元素并堆化：
取出第五个元素并堆化：
取出第六个元素并堆化：
堆排序完成
